Question

11．如图，设D是弦AB延长线上一点，且AB=2BD，过D作圆的切线于E，若C为线段AB的中点，连结EC交圆于点F，若$BC=\sqrt{3}CF$．
（Ⅰ）求证：EC=ED
（Ⅱ）求证：AE⊥ED．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切割线定理、相交弦定理进行计算，即可证明：EC=ED；
（Ⅱ）证明EB⊥BD，即可证明：AE⊥ED．

解答 证明：（Ⅰ）设BC=x，则AC=BD=BC=x，$CF=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$，
易得：$D{E^2}=BD•AD=3{x^2}⇒DE=\sqrt{3}x$； 
EC•CF=BC•AC=x²⇒$EC•\frac{{\sqrt{3}}}{3}x=BC•AC={x^2}⇒EC=\sqrt{3}x⇒DE=EC$；
（Ⅱ）∵DE=EC，点B为中点，
∴EB⊥BD，
∵EA为直径，ED为切线，
∴AE⊥ED．

点评 本题考查切割线定理、相交弦定理的运用，考查圆的切线的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．