Question

8．从点P出发的三条线段PA=PB=PC=1，且它们两两垂直，则二面角P-AB-C的大小为arctan$\sqrt{2}$；P到平面ABC的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 ①如图所示，取AB的中点D，连接PD，CD，由PA，PB，PC两两垂直，可得PC⊥平面ABP，利用线面垂直的性质定理、三垂线定理可得AB⊥PD，AB⊥CD，因此∠CDP是二面角P-AB-C的平面角，利用直角三角形的边角公式得出即可．
②由①可得：AB⊥平面CDP，可得平面CDP⊥平面ABC．过P作PE⊥CD，则PE⊥平面ABC，因此PE即为P到平面ABC的距离．利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：①如图所示，取AB的中点D，连接PD，CD，
∵PA，PB，PC两两垂直，
∴PC⊥平面ABP，
∵PA=PB=1，AD=DB，
∴AB⊥PD，PD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴AB⊥CD，
∴∠CDP是二面角P-AB-C的平面角．
在Rt△CPD中，tan∠CDP=$\frac{CP}{PD}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴∠CDP=arctan$\sqrt{2}$．
②由①可得：AB⊥平面CDP，
∴平面CDP⊥平面ABC．
平面CDP∩平面ABC=CD．
过P作PE⊥CD，则PE⊥平面ABC．
∴PE即为P到平面ABC的距离．
在Rt△CDP中，PE=$\frac{CP•PD}{CD}$=$\frac{1×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案分别为：arctan$\sqrt{2}$；$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、二面角的平面角、点到直线的距离、等面积变形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．