Question

【题目】已知函数，

（I）讨论在上的单调性；

（Ⅱ）若对任意的正整数n都有成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）当时，在上递减.当时，在上递减，在上递增.当时，在上递增.（II）

【解析】

（I）求得的导函数，对分成等四种情况，讨论的单调性.

（II）将不等式转化为，构造，利用的导函数，结合（I）的结论，求得的取值范围.

（I）依题意（）

当时，，所以在上递减.

当时，令解得.

当时，，所以在上递减，在上递增.

当时，，在上递增.

当时，，所以在上递增.

综上所述，当时，在上递减.当时，在上递减，在上递增.当时，在上递增.

（II）不等式两边取以为底的对数，可转化为，令，故要对任意的正整数n都有成立，只需对任意，有..

由（I）知：

当时，在上递增，所以，符合题意.

当时，在上递减，，不符合题意.

当时，在上递减，所以当时，，不符合题意.

当时，在上递减，，不符合题意.

综上所述，的取值范围是.