Question

【题目】已知函数，其定义域为.（其中常数，是自然对数的底数）

（1）求函数的递增区间；

（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明: .

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；

（2）由题意，问题转化为，令，，

即证，根据函数的单调性，即可作出证明．

（1）易知，

①若，由解得，∴函数的递增区间为；

②若，则

				1
	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴函数的递增区间为和；

③若，则，∴函数的递增区间为；

④若，则

		1
	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴函数的递增区间为和；

综上，若，的递增区间为；

若，的递增区间为和；

若，函数的递增区间为；

若，函数的递增区间为和.

（2）∵函数为上的增函数，∴，即，

注意到，故，

∴不妨设，

欲证，只需证，只需证，

即证，即证，

令，，只需证，

∴ ，

下证，即证，

由熟知的不等式可知，

当时，即，

∴ ，

易知当时，，∴，

∴，

∴，即单调递增，即，从而得证.