Question

【题目】如图，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，直线l与圆O：x2+y2相切，且与椭圆C相交于M、N两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）证明：为定值.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）证明见解析

【解析】

(1)根据椭圆中基本量的关系列式求解即可.

(2)由题可设直线,再根据直线与圆相切可得,再联立直线与椭圆的方程求得的解析式,再代入化简求值即可.

（1）解：由题意可得：,2b＝2,a2＝b2+c2,联立解得a＝2,b＝1,c.

∴椭圆C的方程为1.

（2）证明：设M（x1,y1）,N（x2,y2）,

直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为：my＝x﹣t,

∵直线l与圆O：x2+y2相切,

则,化为：5t2＝4m2+4.

联立,化为：（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0,△＞0.

∴y1+y2,y1y2,

x1x2＝（my1+t）（my2+t）＝m2y1y2+mt（y1+y2）+t2.

∴x1x2+y1y2＝（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2

＝（m2+1）mt（）+t20,

直线l的斜率为0时,上式也成立.

因此0为定值.