Question

【题目】已知，为椭圆的左右焦点，在以为圆心，1为半径的圆上，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于，两点，过与垂直的直线交圆于，两点，为线段的中点，求的面积的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】

(1) 由在以为圆心，1为半径的圆上,可知圆的方程为,由此圆与轴相切,可得切点坐标为,则可得出,由由两点间距离公式可求得即求出的值,进而求得,由此能求出椭圆的方程.

(2)因为 设，则,与椭圆联立，得,由此利用弦长公式可求得、又.可知,到的距离即到的距离,利用点到直线距离公式即可求得距离,通过面积公式可得,令,构造函数化简、借助单调性即可求出面积的取值范围.

(1) 圆的方程为,此圆与轴相切，则切点为即,

所以,又

所以.

所以椭圆的方程为.

(2) 当平行轴的时候，与圆无公共点，从而不存在;设,则.

由,消去得

则又圆心到的距离得.又.到的距离即到的距离，设为,即.

面积令

则

面积的取值范围为.