【题目】在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左顶点为
，右焦点为
，
为椭圆
上两点，圆
.
（1）若
轴，且满足直线
与圆
相切，求圆的方程；
（2）若圆的半径为
，点满足
，求直线
被圆截得弦长的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题（1）确定圆
的方程，就是确定半径的值，因为直线
与圆相切，所以先确定直线方程，即确定点
坐标：因为
轴，所以
，根据对称性，可取
，则直线的方程为
，根据圆心到切线距离等于半径得
（2）根据垂径定理，求直线
被圆截得弦长的最大值，就是求圆心到直线的距离的最小值. 设直线的方程为
，则圆心到直线的距离
，利用
得
，化简得
，利用直线方程与椭圆方程联立方程组并结合韦达定理得
，因此
，当
时，
取最小值，取最大值为.
试题解析：解：（1）
因为椭圆
的方程为
，所以
，
.
因为轴，所以，而直线与圆相切，
根据对称性，可取，
则直线的方程为，
即
.
由圆与直线相切，得，
所以圆的方程为.
（2）
易知，圆的方程为
.
①当
轴时，
，
所以
，
此时得直线被圆截得的弦长为
.
②当与
轴不垂直时，设直线的方程为，
，
首先由，得，
即
，
所以（*）.
联立
，消去，得
，
将
代入（*）式，
得.
由于圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为
，故当时，
有最大值为.
综上，因为
，所以直线被圆截得的弦长的最大值为.
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【题目】已知椭圆
上任一点
到
，
的距离之和为4.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）已知点
，设直线
不经过
点,与交于
，
两点，若直线
的斜率与直线
的斜率之和为
，判断直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
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【题目】为了了解居民的用电情况,某地供电局抽查了该市若干户居民月均用电量(单位:
),并将样本数据分组为
,
,
,
,
,
,
,其频率分布直方图如图所示.
(1)若样本中月均用电量在的居民有
户,求样本容量;
(2)求月均用电量的中位数;
(3)在月均用电量为,,,的四组居民中,用分层随机抽样法抽取
户居民,则月均用电量在的居民应抽取多少户?
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【题目】（本小题满分13分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.
在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注：（1）产品的“性价比”=
；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性.
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【题目】已知
，
为椭圆
的左右焦点，在以
为圆心，1为半径的圆
上，且
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
的直线
交椭圆于
，
两点，过
与垂直的直线
交圆于
，
两点，
为线段
的中点，求
的面积的取值范围.
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【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率为
，且
在椭圆
上运动，当点恰好在直线l:
上时，
的面积为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）作与
平行的直线
，与椭圆交于
两点，且线段
的中点为
，若
的斜率分别为
，求
的取值范围.
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