已知函数
,
.
(Ⅰ)求函数
的单调递增区间;
(Ⅱ)设点
为函数
的图象上任意一点,若曲线
在点
处的切线的斜率恒大于
,
求
的取值范围.
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
.
试题分析:(Ⅰ)先求出函数
的定义域为
,再对函数求导得
.对
分
,
,
,
四种情况进行讨论,求得每种情况下使得
的
的取值范围,求得的
的取值集合即是函数的单调增区间;(Ⅱ)将
代入函数的导数得
,根据
化简整理构造新函数,将问题转化为:
的恒成立问题,分
,
,
三种情况结合二次函数的单调性进行讨论.
试题解析:(Ⅰ)依题意,
的定义域为
,
. 2分
①当
时,
令
,解得
,所以函数
在
上是增函数;
②当
时,
令
,解得
或
,所以函数
在
和
上是增函数;
③当
时,
在
上恒成立,所以函数
在
是增函数;
④当
时,
令
,解得
或
,所以函数
在
和
上是增函数. 6分
综上所述,
①当
时,函数
的单调递增区间是
;
②当
时,函数
的单调递增区间是
和
;
③当
时,函数
的单调递增区间是
;
④当
时,函数
的单调递增区间是
和
. 7分
(Ⅱ)因为函数
在点
处的切线的斜率大于
,
所以当
时,
恒成立.
即当
时,
恒成立.
设
,函数
的对称轴方程为
.10分
(ⅰ)当
时,
在
时恒成立.
(ⅱ) 当
时,即
时,在
时,函数
成立,则方程
的判别式
,解得
.
(ⅲ)当
时,即
时,
在
上为增函数,
的取值范围是
,则在
时,函数
不恒成立. 13分
综上所述,
时,在函数
的图象上任意一点
处的切线的斜率恒大于
. 14分
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.
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,求
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,
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