Question

某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分．根据以往经验，每局甲赢的概率为

1

2

，乙赢的概率为

1

3

，且每局比赛输赢互不影响．若甲第n局的得分记为a_n，令A_n=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）求A₃=5的概率；
（Ⅱ）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛结束，否则，继续进行下一局比赛．设随机变量ξ表示此次比赛总共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题意可知A₃=5，即前3局甲2胜1平，然后由独立重复试验的计算公式求解A₃=5的概率；
（Ⅱ）设乙第n局的得分记为b_n，令B_n=b₁+b₂+…+b_n，可知a_n+b_n=2，由题意可知ξ的可能取值有2，3，4，由互斥事件和独立重复试验的概率公式求得概率后即可得到ξ的分布列，代入期望公式求期望．

解答： 解：（Ⅰ）A₃=5，即前3局甲2胜1平．
由已知甲赢的概率为

1

2

，甲输的概率为

1

3

，则平局的概率为

1

6

，
∴A₃=5的概率为

C

2 3

(

1

2

)2(

1

6

)=

1

8

；
（Ⅱ）设乙第n局的得分记为b_n，
令B_n=b₁+b₂+…+b_n，可知a_n+b_n=2，
ξ的可能取值有2，3，4．
P(ξ=2)=P(A2=4)+P(B2=4)=(

1

2

)2+(

1

3

)2=

13

36

．
P（ξ=3）=P（A₃=4）+P（B₃=4）
=[

C

1 2

×(

1

2

)2×

1

3

+

C

1 2

×

1

2

×

1

6

×(1-

1

3

)+(

1

6

)2×

1

2

]
+[

C

1 2

×(

1

3

)2×

1

2

+

C

1 2

×

1

3

×

1

6

×(1-

1

2

)+(

1

6

)2×

1

3

]=

101

216

．
P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=

37

216

．
ξ的分布列为：

ξ	2	3	4
P	13 36	101 216	37 216

∴Eξ=2×

13

36

+3×

101

216

+4×

37

216

=

607

216

．

点评：本题考查互斥事件的概率加法公式及独立重复试验的概率计算公式，考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，关键是对题意的理解，属中高档题．