Question

函数f（x）=

ln(2x+3)-2x2

x

的图象在点（-1，2）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,直线的截距式方程

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，得到函数在点（-1，2）处的导数值，即f（x）的图象在点（-1，2）处的切线的斜率，由点斜式写出切线方程，求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式得答案．

解答： 解：由f（x）=

ln(2x+3)-2x2

x

，得
f′(x)=

( 2 2x+3 -4x)•x-ln(2x+3)-2x2

x2

，
∴f′（-1）=-8．
则f（x）的图象在点（-1，2）处的切线方程为y-2=-8（x+1），
即8x+y+6=0．
取x=0，得y=-6，
取y=0，得x=-

3

4

．
∴切线与坐标轴围成的三角形的面积S=

1

2

×|-

3

4

|×|-6|=

9

4

．
故答案为：

9

4

．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答此题的关键是求原函数的导函数，是中档题．