Question

设数列{a_n}满足a₁=1，a₂=1，a₃=2，若

an

an-2

=

an-3

an-1

（n∈N^*，n≥4），则a₅=

 

，数列{a_n}的前10项和S₁₀=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由

an

an-2

=

an-3

an-1

①，得

an-1

an-3

=

an-4

an-2

②，由①②得an-22=anan-4（n≥5），从而可知数列的奇数项、偶数项分别构成等比数列，令n=4、n=5可求得a₅，分组可求S₁₀．

解答： 解：由

an

an-2

=

an-3

an-1

①，得

an-1

an-3

=

an-4

an-2

②，
由①②得an-22=anan-4（n≥5），
∴数列的奇数项、偶数项分别构成等比数列，

a4

a2

=

a1

a3

，∴a4=

1

2

×1=

1

2

，
由

a5

a3

=

a2

a4

，得a5=

1

1 2

×2=4，
可知奇数项构成以1为首项、2为公比的等比数列，偶数项构成以1为首项、

1

2

为公比的等比数列，
∴S₁₀=

1×(1-25)

1-2

+

1×[1-( 1 2 )5]

1- 1 2

=

527

16

，
故答案为：4，

527

16

．

点评：该题考查由递推式求数列的项，考查数列求和，考查学生的推理能力．