Question

在△ABC中，∠A=60°，若|

AC

|+|

AB

|=

3

|

BC

|，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：三角形的形状判断

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：由条件利用余弦定理可得可得cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

1

2

，求得AC=2AB，或AC=

1

2

AB．当AC=2AB时，BC²+AB²=4AB²=AC²，△ABC为直角三角形．同理可得，当AC=

1

2

AB时，△ABC也为直角三角形，从而得出结论．

解答： 解：△ABC中，∵∠A=60°，|

AC

|+|

AB

|=

3

|

BC

|，∴BC²=

(AB+AC)2

3

．
由余弦定理可得可得cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

2AB2+2AC2-2AB•AC

6AB•AC

=

1

2

，
∴2AC²-5AB•AC+2AB²=0，解得 AC=2AB，或AC=

1

2

AB．
当AC=2AB 时，BC²+AB²=4AB²=AC²，∴AB⊥BC，∴B为直角，△ABC为直角三角形．
当AC=

1

2

AB时，BC²+AC²=AB²，∴BC⊥AC，C为直角，∴△ABC为直角三角形．
综上可得，△ABC为直角三角形．

点评：本题主要考查勾股定理、余弦定理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．