Question

已知a＞0，函数f（x）=

1

3

a²x³-ax²+

2

3

，x∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1）的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，1]的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=1代入原函数解析式，求出函数的导函数，得到f′（1）与f（1），然后由直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，求出导函数的两个零点，由零点对定义域分段，得到在各区间段内导函数的符号，判断出原函数的单调性，从而求出原函数在[-1，1]上的极值点，进一步求得函数的极值．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=

1

3

x³-x²+

2

3

，
f′（x）=x²-2x，
∴f′（1）=-1，f（1）=0．
则函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y-0=-1×（x-1），
即x+y-1=0；
（Ⅱ）由f（x）=

1

3

a²x³-ax²+

2

3

，得
f′（x）=a²x²-2ax．
由f′（x）=0，得x1=0，x2=

2

a

．
当

2

a

＜1，即a＞2时，x∈（-∞，0），（

2

a

，+∞）时f′（x）＞0，
x∈（0，

2

a

）时f′（x）＜0，
∴函数f（x）在[-1，1]上有极大值f（0）=

2

3

，极小值f(

2

a

)=

2a-4

3a

；
当

2

a

=1，即a=2时，x∈（-∞，0），（1，+∞）时f′（x）＞0，
x∈（0，1）时f′（x）＜0，
∴函数f（x）在[-1，1]上有极大值f（0）=

2

3

，极小值f（1）=

a2

3

-a+

2

3

；
当

2

a

＞1，即0＜a＜2时，x∈（-∞，0），（

2

a

，+∞）时f′（x）＞0，
x∈（0，

2

a

）时f′（x）＜0，
∴函数f（x）在[-1，1]上有极大值f（0）=

2

3

．
综上，当a＞2时，函数f（x）在[-1，1]上有极大值f（0）=

2

3

，极小值f(

2

a

)=

2a-4

3a

；
当a=2时，函数f（x）在[-1，1]上有极大值f（0）=

2

3

，极小值f（1）=

a2

3

-a+

2

3

；
当0＜a＜2时，函数f（x）在[-1，1]上有极大值f（0）=

2

3

．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的极值，体现了分类讨论的数学思想方法，是压轴题．