Question

在直角坐标系中，曲线C的参数方程为

x= 5 cosφ y= 15 sinφ

（φ为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P(

3

，

π

2

)，直线l的极坐标方程为ρ=

3

2cos(θ- π 6 )

．
（1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；
（2）设直线l与曲线C的两个交点为A、B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）把直线直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据点P的直角坐标满足直线的方程，可得点P(0，

3

)在直线l上．
（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得 t²+2t-8=0，则由韦达定理可得 t₁•t₂=-8，从而求得|PA|•|PB|=|t₁•t₂|的值．

解答： 解：（1）直线直线l的极坐标方程为ρ=

3

2cos(θ- π 6 )

即

3

ρcosθ+ρsinθ=

3

，
故直线l的直角坐标方程为

3

x+y=

3

，再根据点P的直角坐标为（0，

3

 ），满足直线的方程，
故点P(0，

3

)在直线l上．
（2）直线l的参数方程为

x=- 1 2 t y= 3 + 3 2 t

（t为参数），曲线C的直角坐标方程为

x2

5

+

y2

15

=1，
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得 t²+2t-8=0，
设两根为t₁、t₂，则由韦达定理可得 t₁•t₂=-8，∴|PA|•|PB|=|t₁•t₂|=8．

点评：本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，参数的几何意义，韦达定理的应用，属于基础题．