Question

如图，四棱锥S-ABCD的高为2，底面ABCD是边长为2

2

的正方形，顶点S在底面上的射影是正方形ABCD的中心O．K是棱SC的中点．试求直线AK与平面SBC所成角的正弦值．（用空间向量解题）

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：计算题,空间角

分析：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．求出平面SBC的一个法向量，

AK

=(-3，0，1)，利用向量的夹角公式，可求直线AK与平面SBC所成角的大小．

解答： 解：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．则A（2，0，0），B（0，2，0）C（-2，0，0），S（0，0，2）
所以

SB

=(0，2，-2)，

SC

=(-2，0，-2)，K(-1，0.1)
设

m

是平面SBC的一个法向量，易求得

m

=(-1，1，1)
设θ为AK与平面SBC所成的角，因为

AK

=(-3，0，1)
所以：sinθ=|cos＜

m

，

AK

＞|=|

m • AK

| m |•| AK |

|=

2 30

15

．

点评：本题考查直线与平面所成的角，考查向量方法的运用，确定向量的坐标是关键．