Question

已知函数f（x）的导函数f′（x）=e^x-1（e为自然对数的底数，f（x）解析式无常数项）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数最值的应用,函数单调性的性质

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求出原函数，根据导数的正负，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）≥ax恒成立，等价于（a+1）x＜e^x，将（a+1）x＜e^x变形为a＜

ex

x

-1，求出g（x）的最小值，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）的导函数f′（x）=e^x-1（e为自然对数的底数，f（x）解析式无常数项），
∴f（x）=e^x-x．
由f′（x）＞0，可得x＞0；f′（x）＜0，可得x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴x=0时，f（x）的最小值为1；
（2）不等式f（x）≥ax恒成立，等价于（a+1）x＜e^x，
当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x∈（0，2]的情况．
将（a+1）x＜e^x变形为a＜

ex

x

-1．
令g（x）=

ex

x

-1，则g（x）的导函数g′（x）=

(x-1)ex

x2

，
令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得x＜1．
从而g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．
∴当x=1时，g（x）取得最小值e-1，
从而实数a的取值范围是（-∞，e-1]．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，正确分离参数是关键．