Question

设命题p：函数f（x）=x³-ax-1在区间[-1，1]上单调递减；命题q：函数y=x²+ax+1的最小值不大于0．如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围是多少．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：根据题意可知p，q为一真一假，通过导函数先求出p，q为真时a的取值范围，再分类讨论一真一假时，p，q的交集即可求解．

解答： 解：p为真命题?f′（x）=3x²-a≤0在[-1，1]上恒成立?a≥3x²在[-1，1]上恒成立?a≥3．
q为真命题?△=a²-4≥0恒成立?a≤-2或a≥2．
由题意p和q有且只有一个是真命题．
p真q假?

a≥3 -2＜a＜2

⇒a∈∅
p假q真?

a＜3 a≤-2或a≥2

⇒a≤-2或2≤a＜3．
综上所述：a∈（-∞，-2]∪[2，3）．

点评：涉及到单调性问题和最值问题一般用求导的方法来解决．对于这种涉及到两个命题的并、交的复合命题，要充分讨论，把各种情况考虑进去，最后通过求交集或者并集来求解