Question

在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，M，N分别是A′B′，BC，C′D′，B′C′的中点．
（1）求证：平面MNF⊥平面ENF．
（2）求二面角M-EF-N的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）欲证平面MNF⊥平面ENF，先证直线与平面垂直，由题意可得：MN⊥EN，MN⊥NF，所以MN⊥面ENF，进一步易得平面MNF⊥平面ENF；
（2）求出S_△MEF=

1

2

•2•

6-1

=

5

，S_△NEF═

1

2

•2•

2

=

2

，即可求出二面角M-EF-N的余弦值．

解答： （1）证明：连接A′C′，B′D′
∵E，M，N分别是A′B′，C′D′，B′C′的中点，
∴MN∥B′D′，EN∥A′C′
又∵A′C′⊥B′D′
∴MN⊥EN
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，
∵F，N分别是BC，B′C′的中点，
∴NF∥B′B
又∵B₁B⊥面A′B′C′D′，∴NF⊥面A₁B₁C₁D₁
∵MN?面A′B′C′D′
∴MN⊥NF
∵EN∩NF=N
∴MN⊥面ENF
又∵MN?平面MNF
∴平面MNF⊥平面ENF
（2）解：设正方体的棱长为2，则
△MEF中，ME=2，EF=

6

，MF=

6

，∴S_△MEF=

1

2

•2•

6-1

=

5

，
△EFN中，NE=

2

，NF=2，EF=

6

，∴S_△NEF═

1

2

•2•

2

=

2

，
∴二面角M-EF-N的余弦值为

2

5

=

10

5

．

点评：本小题主要考查空间线面关系，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力