Question

如图，在Rt△ABC中，已知BC=5，AB=3，AC=4，若长为10的线段PQ以点A为中点，问

PQ

与

BC

的夹角θ取何值时

BP

•

CQ

的值最大？并求出这个最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，建立直角坐标系．B（3，0），C（0，4）．设P（5cosα，5sinα），Q（-5cosα，-5sinα），α∈[0，2π）．利用数量积的坐标运算可得

BP

•

CQ

=-25(

4

5

sinα-

3

5

cosα)-25=-25sin（α-φ）-25≤-25×（-1）-25=0，其中sinφ=

3

5

，cosφ=

4

5

．联立

4 5 sinα- 3 5 cosα=-1 sin2α+cos2α=1

，解得即可得出．

解答： 解：如图所示，建立直角坐标系．
B（3，0），C（0，4）．
设P（5cosα，5sinα），则Q（-5cosα，-5sinα），α∈[0，2π）．
∴

BP

•

CQ

=（5cosα-3，5sinα）•（-5cosα，-5sinα-4）
=-5cosα（5cosα-3）-5sinα（5sinα+4）
=-25cos²α+15cosα-25sin²α-20sinα
=-25(

4

5

sinα-

3

5

cosα)-25
=-25sin（α-φ）-25≤-25×（-1）-25=0，其中sinφ=

3

5

，cosφ=

4

5

．
由

4 5 sinα- 3 5 cosα=-1 sin2α+cos2α=1

，解得

sinα=- 4 5 cosα= 3 5

此时，

PQ

=（-6，8），

BC

=（-3，4）．
∵

PQ

=2

BC

，∴此时

PQ

∥

BC

，因此

PQ

与

BC

的夹角θ=0．
∴

PQ

与

BC

的夹角θ取0时，

BP

•

CQ

的值最大为0．

点评：本题考查了向量数量积的坐标运算、三角函数的单调性有界性、同角三角函数的基本关系式、向量共线等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．