Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•

1 an2 +4

=1，记S_n=a₁²+a₂²…+a_n²，若S_2n+1-S_n≤

m

30

，对任意n∈N^*恒成立，
（1）求证：数列{

1

an2

}为等差数列；
（2）求正整数m的最小值．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据递推数列，利用构造法即可证明数列{

1

an2

}为等差数列；
（2）求出{a_n²}的通项公式，判断{S_2n+1-S_n}的单调性，即可求正整数m的最小值．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•

1 an2 +4

=1，
∴

1 an2 +4

=

1

an+1

，
平方得（

1

an+1

）²=（

1

an2

）²+4
即（

1

an+1

）²-（

1

an2

）²=4
∴数列{

1

an2

}为等差数列，首项为1，公差为4的等差数列，
（2）∵数列{

1

an2

}为首项为1，公差为4的等差数列，
∴

1

an2

=1+4（n-1）=4n-3，
则a_n²=

1

4n-3

，
设B_n=S_2n+1-S_n，
则B_n-B_n+1=（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²）-（a_n+2²+a_n+3²+…+a_2n+3²）
=a_n+1²-a_2n+2²-a_2n+3²
=

1

4n-1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，
数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为
S₃-S₁=a₂²+a₃²=

1

5

+

1

9

=

14

45

，
若

14

45

≤

m

30

，
∴m≥

28

3

，
又∵m是正整数，
∴m的最小值为10．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，考查实数的最小值的求法，解题时要认真审题，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．