Question

设命题p：存在a＞0，使函数f(x)=x+

a

x

在区间（1，2）上单调递增；命题q：对任意x∈R，不等式|x-1|-|x+2|＜4a都成立．
（1）若“p且q”为真，求a的取值范围；
（2）若“?p且?q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：先确定出每个命题为真时a的范围：若p为真，则导函数f′（x）＞0在（1，2）上恒成立；若q为真，则4a＞（|x-1|-|x+2|）_max．
（1）p真，q真时的两不等式同时成立，解不等式组；
（2）先由复合命题的否定方法，将“￢p且￢q”为假转化为“p或q为真”然后解不等式．

解答： 解：要使p为真：即存在a＞0，使函数f(x)=x+

a

x

在区间（1，2）上单调递增，
只需f′（x）=1-

a

x2

≥0在区间（1，2）上恒成立，
只需a≤x²恒成立，x∈（1，2）；∴a≤（x²）_min=1，
∴若p为真，则0＜a≤1；
要使q为真，只需对任意x∈R，不等式|x-1|-|x+2|＜4a，
只需（|x-1|-|x+2|）_max＜4a
结合绝对值的性质，|x-1|-|x+2|≤|（x-1）-（x+2）|=3，
∴若q为真，则4a＞3，即a＞

3

4

；
（1）若“p且q”为真，则

0＜a≤1 a＞ 3 4

，解得

3

4

＜a≤1．
（2）若“￢p且￢q”为假，则“p或q”为真，
∴0＜a≤1或a＞

3

4

，解得a＞0，
∴a＞0即为所求．

点评：本题两个命题都涉及到了不等式恒成立的问题，一般转化为求函数的最值问题；同时复合命题的否定，要注意逻辑连接词的变化．