Question

若过点P（2，1）的直线l与圆C：x²+y²+2x-4y-11=0相交于两点A、B，且∠ACB=90°（其中C为圆心）．
（Ⅰ）求直线l的方程，
（Ⅱ）求经过点P，C的圆中面积最小的圆的方程．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离公式，求解直线l的方程，
（Ⅱ）判断经过点P，C的圆中，以PC为直径的圆的面积最小，然后求出圆的方程．

解答： 解：（Ⅰ）圆C：（x+1）²+（y-2）²=16，点C（-1，2），r=4，∴d=2

2

设直线l：y-1=k（x-2），所以d=2

2

=

|-3k-1|

k2+1

，∴k=1或k=-7（6分）
所以直线l的方程为：x-y-1=0或7x+y-15=0（8分）
（Ⅱ）由题意可知，经过点P，C的圆中，以PC为直径的圆的面积最小，圆的圆心（

1

2

，

3

2

），
半径为：

1

2

(-1- 1 2 )2+(2- 3 2 )2

=

5

2

，
所求圆的方程为(x-

1

2

)2+(y-

3

2

)2=

5

2

（12分）．

点评：本题考查直线u圆的位置关系的应用，圆的标准方程的求法，考查转化思想以及计算能力．