Question

设函数f（x）=4x³+ax²+bx+5在x=

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与x=-1时有极值；
（1）写出函数的解析式；
（2）指出函数的单调区间；
（3）求f（x）在[-1，2]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由导数的运算法则可得f′（x）=12x²+2ax+b，由于函数f（x）=4x³+ax²+bx+5在x=

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与x=-1时有极值，可得

f′( 3 2 )=0 f′(-1)=0

，解得即可．
（2）分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，列出表格即可得出；
（3）利用（2）可得函数f（x）在[-1，

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)上单调递减，在(

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，2]上单调递增．分别计算出极值与区间端点的函数值比较即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=12x²+2ax+b，
∵函数f（x）=4x³+ax²+bx+5在x=

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2

与x=-1时有极值；
∴

f′( 3 2 )=0 f′(-1)=0

，即

27+3a+b=0 12-2a+b=0

，解得

a=-3 b=-18

．
∴f（x）=4x³-3x²-18x+5．
（2）由（1）可得f′（x）=12x²-6x-18=6（x+1）（2x-3）．
令f′（x）=0，解得x=-1或

3

2

．
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	(-1， 3 2 )	3 2	（ 3 2 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可得：函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），(

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，+∞)；单调递减区间为(-1，

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)．
（3）由（2）可知：函数f（x）在[-1，

3

2

)上单调递减，在(

3

2

，2]上单调递增．
因此当x=

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时，函数f（x）取得最小值，且f(

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)=-13．又f（-1）=16，f（2）=-11，∴函数f（x）的最大值为f（-1），即16．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．