Question

在二项式（x-2y）⁷的展开式中，
（Ⅰ）求二项式系数之和；
（Ⅱ）求各项系数之和；
（Ⅲ）求奇数项系数之和．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（Ⅰ）在二项式（x-2y）⁷的展开式中，二项式系数之和为

C

0 7

+

C

1 7

+

C

2 7

+…+

C

7 7

=2⁷．
（Ⅱ）在二项式（x-2y）⁷的展开式中，令x=1，y=1，可得各项系数之和．
（Ⅲ）设（x-2y）⁷=a₀x⁷+a₁x⁶y+a₂x⁵y²+…+a₇y⁷，令x=1，y=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a₇=-1①，再x=1，y=-1，可得a₀-a₁+a₂-…+a₇=（1+2）⁷=3⁷ ②，把①、②相加可求得奇数项系数之和 a₀+a₂+a₄+a₆ 的值．

解答： 解：（Ⅰ）在二项式（x-2y）⁷的展开式中，二项式系数之和为

C

0 7

+

C

1 7

+

C

2 7

+…+

C

7 7

=2⁷=128．
（Ⅱ）在二项式（x-2y）⁷的展开式中，令x=1，y=1，可得各项系数之和 （-1）⁷=-1．
（Ⅲ）设二项式（x-2y）⁷=a₀x⁷+a₁x⁶y+a₂x⁵y²+…+a₇y⁷，
令x=1，y=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a₇=-1①，再x=1，y=-1，可得a₀-a₁+a₂-…+a₇=（1+2）⁷=3⁷ ②，
把①、②相加可求得奇数项系数之和 a₀+a₂+a₄+a₆=

37-1

2

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，注意“第r+1项的二项式系数”与“第r+1项的系数”的区别，属于基题．