Question

已知命题p：函数y=log_m（6-mx）在[1，2]上单调递减．
（1）求实数m的取值范围；
（2）命题q：方程x²-2x+m+1=0在（0，+∞）内有一个零点．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：（1）因为m＞0，则y=6-mx是增函数，而整个函数是减函数，所以底数0＜m＜1，再结合定义域，即在[1，2]上函数有意义，得到关于m的不等式组，解之即可；
（2）先把q为真时的m范围求出，结合二次函数的图象可知，只需f（0）≤0或△=0即可，然后根据“p或q为真，p且q为假”可得，两命题一真一假，然后分两种情况列出不等式组求解．

解答： 解：（1）由题意，m＞0，∴y=6-mx在[1，2]上是减函数，且满足6-2×m＞0，∴0＜m＜3，
又∵函数y=log_m（6-mx）在[1，2]上单调递减，根据复合函数单调性的判断方法，应有m＞1，
∴若p为真，则1＜m＜3．
（2）令f（x）=x²-2x+m+1，该函数对称轴为x=1，
①当△=4-4（m+1）=0时，m=0，f（x）=0的根为1，符合题意；
②当△＞0即m＜0时，结合图象只需f（0）=m+1≤0，解得m≤-1，
综上，若q为真，则m≤-1或m=0；
∵“p或q为真，p且q为假”，命题p、q一真一假，
可得

m≤-1或m=0 m≤1或m≥3

或

-1＜m＜0或m＞0 1＜m＜3

，
解得m≤-1或m=0或1＜m＜3，
∴m的取值范围是（-∞，-1]∪{0}∪（1，3）．

点评：本题考查了：复合函数单调性的判断方法，及“同增异减”；一元二次方程根的分布问题，一般利用二次函数的图象来分析解决．同时准确记忆“或”“且”“非”命题真假的判断方法是最终解决问题的关键．