Question

设a＞1，f（x）=（x²+ax+1）•e^1-x，g（x）=

2a-1+(2a-1)x-x2

x+1

．若对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：

分析：要使对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-g（x₂）|＜1，只需证明|f（x）_min-g（x）_max|＜1成立和|f（x）_max-g（x）_min|＜1成立即可，然后通过求导来计算出各自的最值

解答： 解：f（x）′=-e^1-x（x²+ax-2x+1-a）
=-e^1-x（x+a-1）（x-1）
∵a＞1
∴f（x）′≥0的解为[1-a，1]⊆[0，1]
∴f（x）在[0，1]上为单调递增函数，
故f（x）_min=f（0）=e，f（x）_max=f（1）=2+a
g（x）=

(-x+2a)(x+1)-1

x+1

=-x+2a-

1

x+1

∴g（x）′=

1

(x+1)2

-1
∴当x∈[0，1]时，g（x）′≤0
∴g（x）在[0，1]上为单调递减函数
∴g（x）_min=g（1）=

4a-3

2

，g（x）_max=g（0）=2a-1
∴|f（x）_min-g（x）_max|=|e+1-2a|＜1，|f（x）_max-g（x）_min|=|

5

2

-a|＜1同时成立
故a的取值范围为：（

e

2

，

3

2

）

点评：对于两个函数大小的比较，一般都可以转化为函数的最值和极值问题，常用的方法便是通过求导来解决．但要注意恒成立和存在这两种关系的区别．