Question

已知非零向量是

a

，

b

，

c

满足

a

+

b

+

c

=

0

，（|

b

|•

a

-|

a

|•

b

）•

c

=0，且2（

a

•

b

）=|

a

|•|

b

|，则由向量

a

，

b

，

c

构成的三角形的三个内角分别为（　　）

• A、30°，60°，90°
• B、45°，45°，90°
• C、30°，30°，120°
• D、60°，60°，60°

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：设向量

a

，

b

的夹角为θ，由2（

a

•

b

）=|

a

|•|

b

|求得cosθ=

1

2

，θ=60°，可得三角形的三个内角中必有一个为120°．再由（|

b

|•

a

-|

a

|•

b

）•

c

=0，化简可得|

a

|=|

b

|，故三角形为等腰三角形，由此可得三内角的值．

解答： 解：已知非零向量是

a

，

b

，

c

满足

a

+

b

+

c

=

0

，即

c

=-（

a

+

b

）．设向量

a

，

b

的夹角为θ，
∵2（

a

•

b

）=|

a

|•|

b

|=2|

a

|•|

b

|cosθ，cosθ=

1

2

，∴θ=60°，
故由向量

a

，

b

，

c

构成的三角形的三个内角中必有一个为120°．
∵（|

b

|•

a

-|

a

|•

b

）•

c

=0，∴（|

b

|•

a

-|

a

|•

b

）[-（

a

+

b

）]=0，
化简可得

1

2

（|

b

||

a

|2-|

a

||

b

|2）=0，∴|

a

|=|

b

|，故三角形为等腰三角形，
故另外的两个内角都是30°，
故选：C．

点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．