Question

数列{a_n}满足递推式a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），且a₁=5．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）若存在实数λ使{

an+λ

3n

}为等差数列，求λ的值及{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由数列{a_n}满足递推式分别取n=2，3，利用递推思想能求出a₂，a₃的值．
（Ⅱ）设

an+λ

3n

=xn+y，从而得到an=(xn+y)•3n-λ，由a₁=5，a₂=23，a₃=95，利用待定系数法能求出λ的值及{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）由an=(n+

1

2

)•3n+

1

2

，利用错位相减法能求出{a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足递推式a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），且a₁=5，
∴a2=3×5+32-1=23，
a3=3×23+33-1=95．
（Ⅱ）∵{

an+λ

3n

}为等差数列，∴设

an+λ

3n

=xn+y，
∴an=(xn+y)•3n-λ，
又由a₁=5，a₂=23，a₃=95，
知

5=a1=(x+y)•3-λ 23=a2=(2x+y)•9-λ 95=a3=(3x+y)•27-λ

，解得λ=-

1

2

，x=1，y=

1

2

，
∴an=(n+

1

2

)•3n+

1

2

，
∵an=(n+

1

2

)•3n+

1

2

，
∴λ=

1

2

．
（Ⅲ）∵an=(n+

1

2

)•3n+

1

2

，
记Tn=(1+

1

2

)•31+(2+

1

2

)•32+…+(n+

1

2

)•3n，①
∴3Tn=(1+

1

2

)•32+(2+

1

2

)•32+…+(n+

1

2

)•3n+1，②
-2T_n=

9

2

+32+33+…+3n-(n+

1

2

)•3n+1
=

9

2

+

32(1-3n-1)

1-3

-（n+

1

2

）•3ⁿ⁺¹
=-n•3ⁿ⁺¹，
∴Tn=

1

2

n•3n+1，
∴{a_n}的前n项和S_n=Tn+

n

2

=

n

2

(3n+1+1)．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．