Question

已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，
（1）若PD=AD，求PC与面AC所成的角
（2）求证：PC∥平面EBD
（3）求证：平面PBC⊥平面PCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由PD⊥平面ABCD，可得∠PCD是PC与面AC所成的角；
（2）连BD，与AC交于O，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而可得线面平行；
（3）证明BC⊥平面PCD，即可证得平面PBC⊥平面PCD．

解答： （1）解：∵PD⊥平面ABCD，
∴∠PCD是PC与面AC所成的角
∵ABCD是正方形，PD=AD，
∴∠PCD=45°；
（2）证明：连BD，与AC交于O，连接EO
∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，
∵E是PA的中点，
∴EO∥PC
又∵EO?平面EBD，PC?平面EBD
∴PC∥平面EBD；
（3）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD
∴BC⊥PD
∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD
又∵PD∩CD=D
∴BC⊥平面PCD
∵BC?平面PBC
∴平面PBC⊥平面PCD．

点评：本题考查线面角、线面平行，考查面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判定方法是关键．