Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-x²+ax+b，其中a＜0，如果存在实数t，使f′（t）＜0，则f′（2-t）•f′（

3t+1

4

）的值（　　）

• A、必为正数
• B、必为负数
• C、必为非负
• D、必为非正

Answer 1

考点：导数的运算

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：求函数的导数，则f′（x）为开口向上的抛物线，根据二次函数的图象和性质判断f′（2-t）与f′（

3t+1

4

）的符号即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³-x²+ax+b，
∴使f′（x）=x²-2x+a=（x-1）²+（a-1），
二次函数的对称轴为x=1，顶点为（1，a-1），开口向上的抛物线，
若f'（t）＜0，所以a＜1，
而对称轴与x轴的交点分别为：（1-

1-a

，0）和 （1+

1-a

，0），两交点的水平距离为2．
通过观察f'（x）图象可知：
∵f'（t）＜0，
∴t范围为∈（1-

1-a

，1+

1-a

）
∵1-

1-a

＜t＜1+

1-a

，
∴-1-

1-a

＜-t＜-1+

1-a

，1-

1-a

＜2-t＜1+

1-a

，
此时f′（2-t）＜0．
∵1-

1-a

＜t＜1+

1-a

，
∴3-3

1-a

＜3t＜3+3

1-a

，4-3

1-a

＜3t+1＜4+3

1-a

，
则

4-3 1-a

4

＜

3t+1

4

＜

4+3 1-a

4

，
即1-

3 1-a

4

＜

3t+1

4

＜1+

3 1-a

4

，
则（1-

3 1-a

4

，1+

3 1-a

4

）?∈（1-

1-a

，1+

1-a

），
∴f′（

3t+1

4

）＜0，
即f′（2-t）•f′（

3t+1

4

）＞0．
故选：A

点评：本题主要考查导数的计算，以及二次函数的图象和性质，考查学生的推理能力．