Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=a（a≠3），a_n+1=S_n+3ⁿ，设b_n=s_n-3ⁿ，n∈N⁺．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）若a_n+1≥a_n，n∈N⁺，求实数a的最小值；
（3）若一个数列的前n项和为A_n，若A_n可以写出t^p（t，p∈N⁺且t＞1，p＞1）的形式，则称A_n为“指数型和”．
当a=4时，给出一个新数列{e_n}，其中e_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{b}_{n}，n≥2}\end{array}$，设这个新数列的前n项和为C_n．，问{C_n}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由a₁=a（a≠3），a_n+1=S_n+3ⁿ，n≥2时，a_n=S_n-1+3^n-1，可得：${a}_{n+1}-2•{3}^{n}$=2$（{a}_{n}-2•{3}^{n-1}）$，利用等比数列的通项公式可得：a_n=2×3^n-1+（a-2）•2^n-1，进而得出b_n=s_n-3ⁿ=（a-2）•2ⁿ，即可证明．
（2）由a_n+1≥a_n，代入通项公式化为：a＞2-4×$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，利用数列的单调性即可得出．
（3）由（1）可得：e_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{b}_{n}，n≥2}\end{array}$=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 证明：（1）∵a₁=a（a≠3），a_n+1=S_n+3ⁿ，
n≥2时，a_n=S_n-1+3^n-1，可得：a_n+1-a_n=a_n+2×3^n-1，
变形为：${a}_{n+1}-2•{3}^{n}$=2$（{a}_{n}-2•{3}^{n-1}）$，
a₁-2=a-2≠0，
∴数列$\{{a}_{n}-2•{3}^{n-1}\}$是等比数列，首项为a-2，公比为2．
∴a_n-2×3^n-1=（a-2）•2^n-1，a_n=2×3^n-1+（a-2）•2^n-1，
∴S_n=a_n+1-3ⁿ=2×3ⁿ+（a-2）•2ⁿ-3ⁿ=（a-2）•2ⁿ+3ⁿ，
∴b_n=s_n-3ⁿ=（a-2）•2ⁿ，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为2a-4，公比为2．
解：（2）a_n+1≥a_n，
∴2×3ⁿ+（a-2）•2ⁿ＞2×3^n-1+（a-2）•2^n-1，化为：a＞2-4×$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，
∵数列$\{-4×（\frac{3}{2}）^{n-1}\}$单调递减，
∴n=1时，取得最大值-4，
∴a＞-2，且a≠2．
解：（3）由（1）可得：e_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{b}_{n}，n≥2}\end{array}$=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．
n=1时，C₁=3．
n≥2时，C_n=3+2²+2³+…+2ⁿ=$\frac{{2}^{n+1}-1}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-1．
∴{C_n}中的项不存在“指数型和”．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的定义通项公式及其求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．