Question

6．已知函数f（x）=|x+sin²θ|，g（x）=2|x-cos²θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f（x）≥a-g（x）对?x∈R恒成立．
（1）求实数a的最大值m；
（2）若正实数a，b，c满足a+2b+3c=2m，求a²+b²+c²的最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值三角不等式求得实数a的最大值．
（2）由条件利用二维形式的柯西不等式，求得a²+b²+c²的最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=|x+sin²θ|，g（x）=2|x-cos²θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f（x）≥a-g（x）对?x∈R恒成立，
故 2|x+sin²θ|≥a-2|x-cos²θ|恒成立，即  2|x+sin²θ|+2|x-cos²θ|≥a 恒成立．
∵2|x+sin²θ|+2|x-cos²θ|≥|2x+2sin²θ-（2x-2cos²θ）|=2，∴2≥a，即a≤2，∴a的最大值为m=2．
（2）∵a+2b+3c=2m=4，∴16=（a+2b+3c）²≤（a²+b²+c²）•（1²+2²+3²）=14•（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c² ≥$\frac{16}{14}$=$\frac{8}{7}$，即a²+b²+c²的最小值 为$\frac{8}{7}$．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式、二维形式的柯西不等式的应用，属于中档题．