Question

18．已知函数f（x）=$\frac{mx}{lnx}$，曲线y=f（x）在点（e²，f（e²））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的解析式及单调递减区间；
（2）是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，f（x）＞$\frac{k}{lnx}$+2$\sqrt{x}$恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）令f′（e²）=$\frac{1}{2}$解出m，得出f（x）的解析式，令f′（x）＜0解出f（x）的单调递减区间；
（II）分离参数得出k＞2x-2$\sqrt{x}$lnx（0＜x＜1）或k＜2x-2$\sqrt{x}$lnx（x＞1），分情况讨论求出右侧函数的最大值或最小值，从而得出k的范围．

解答 解：（Ⅰ） $f'（x）=\frac{m（lnx-1）}{{{{（lnx）}^2}}}$，
∵曲线y=f（x）在点（e²，f（e²））处的切线与直线2x+y=0垂直，
∴f′（e²）=$\frac{m}{4}$=$\frac{1}{2}$，
解得m=2，∴$f（x）=\frac{2x}{lnx}$，
∴$f'（x）=\frac{2（lnx-1）}{{{{（lnx）}^2}}}$，令f'（x）＜0解得：0＜x＜1或1＜x＜e，
∴函数f（x）的单调减区间为（0，1）和（1，e）．    
（Ⅱ）∵$f（x）＞\frac{k}{lnx}+2\sqrt{x}$恒成立，即$\frac{2x}{lnx}＞\frac{k}{lnx}+2\sqrt{x}?\frac{k}{lnx}＜\frac{2x}{lnx}-2\sqrt{x}$，
①当x∈（0，1）时，lnx＜0，则$k＞2x-2\sqrt{x}•lnx$恒成立，
令$g（x）=2x-2\sqrt{x}•lnx$，则g′（x）=$\frac{2\sqrt{x}-lnx-2}{\sqrt{x}}$，
再令$h（x）=2\sqrt{x}-lnx-2$，则h′（x）=$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$＜0，所以h（x）在（0，1）内递减，
所以当x∈（0，1）时，h（x）＞h（1）=0，故$g'（x）=\frac{h（x）}{{\sqrt{x}}}＞0$，
所以g（x）在（0，1）内递增，g（x）＜g（1）=2
∴k≥2．
②当x∈（1，+∞）时，lnx＞0，则$k＜2x-2\sqrt{x}•lnx$恒成立，
由①可知，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）内递增，
所以当x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）=0，故$g'（x）=\frac{h（x）}{{\sqrt{x}}}＞0$，
所以g（x）在（1，+∞）内递增，g（x）＞g（1）=2⇒k≤2；                            
综合①②可得：k=2．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，导数的几何意义，函数恒成立问题，属于中档题．