Question

12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x³-3x+4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）①证明函数f（x）在（0，1）上是单调递减函数；
②判断函数f（x）在[1，+∞]上的单调性（不要证明）；
（3）根据你对该函数的理解，作出函数f（x）（x∈R）的图象．（不需要说明理由，但要有关键特征，标出关键点）

Answer 1

分析 （1）可设x＜0，从而-x＞0，从而可求出f（-x）=-x³+3x+4=-f（x），再根据f（0）=0便可用分段函数写出f（x）的解析式；
（2）①x∈（0，1）时，f（x）=x³-3x+4，求导数，从而根据导数符号便可得出f（x）在（0，1）上为单调递减函数；
②根据导数符号判断f（x）在[1，+∞）上的符号，从而得出其在[1，+∞）上的单调性；
（3）f（x）为奇函数，从而图象关于原点对称，并且图象过原点，根据f（x）在（0，+∞）上的单调性画出其在（0，+∞）上的图象，再画出关于原点的对称图象即可．

解答 解：（1）设x＜0，-x＞0，则：
f（-x）=-x³+3x+4=-f（x）；
∴f（x）=x³-3x-4；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x+4}&{x＞0}\\{0}&{x=0}\\{{x}^{3}-3x-4}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（2）①证明：0＜x＜1时，f（x）=x³-3x+4，f′（x）=3x²-3＜0；
∴f（x）在（0，1）上为单调递减函数；
②x≥1时，f（x）=x³-3x+4，f′（x）≥0；
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增；
（3）由上面知，f（x）为奇函数，图象在原点有定义，在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，f（1）=2，f（2）=6；
∴根据奇函数图象的对称性及函数的单调性便可作出f（x）的图象如下：
．

点评 考查奇函数的定义，奇函数，已知一曲间上的解析式，求其对称区间上的解析式的方法，根据导数符号判断和证明函数单调性的方法，奇函数图象的对称性，根据函数的单调性和对称性画图象．