Question

14．在△ABC中，已知cosA=$\frac{5}{13}$，tan$\frac{B}{2}$+cot$\frac{B}{2}$=$\frac{10}{3}$，c=21．
（1）求cos（A-B）的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得sinA、sinB的值，可得cosB的值，从而求得 cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB 的值．
（2）先求得sinC=sin（A+B） 的值，再利用正弦定理求得a的值，从而求得△ABC的面积为 $\frac{1}{2}•ac•sinB$的值．

解答 解：（1）△ABC中，∵已知cosA=$\frac{5}{13}$，∴sinA=$\sqrt{{1-cos}^{2}A}$=$\frac{12}{13}$，∴A＞$\frac{π}{3}$．
∵tan$\frac{B}{2}$+cot$\frac{B}{2}$=$\frac{{sin}^{2}\frac{B}{2}{+cos}^{2}\frac{B}{2}}{sin\frac{B}{2}•cos\frac{B}{2}}$=$\frac{2}{sinB}$═$\frac{10}{3}$，∴sinB=$\frac{3}{5}$∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），cosB=$\sqrt{{1-sin}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，
∴cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=$\frac{5}{13}$•$\frac{4}{5}$+$\frac{12}{13}$•$\frac{3}{5}$=$\frac{56}{65}$．
（2）∵c=21，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{63}{65}$，
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，即 $\frac{a}{\frac{12}{13}}$=$\frac{21}{\frac{63}{65}}$，∴a=20，
∴△ABC的面积为 $\frac{1}{2}•ac•sinB$=$\frac{1}{2}$•20•21•$\frac{3}{5}$=126．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．