Question

20．等差数列{a_n}的前n项和为S_n．a₃=2，S₈=22．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{n{a_n}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=2，S₈=22．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=2}\\{8{a}_{1}+\frac{8×7}{2}d=22}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴{a_n}的通项公式为a_n=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$．
（2）∵b_n=$\frac{1}{{n{a_n}}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n+1}$，
∴T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．