Question

10．在△ABC中，∠A=$\frac{2π}{3}$，a=$\sqrt{3}$c，则$\frac{sinB}{sinC}$=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可解得sinC，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，进而利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数故选可求sinB，即可求得$\frac{sinB}{sinC}$的值．

解答 解：在△ABC中，∵∠A=$\frac{2π}{3}$，a=$\sqrt{3}$c，
∴由正弦定理可得：sinA=$\sqrt{3}$sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：sinC=$\frac{1}{2}$，
∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+（-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$=1．
故选：A．

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．