Question

证明：x＞0时，ln（x+1）＞

x

x+1

恒成立．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：根据题意可得，要证不等式ln（x+1）＞

x

x+1

恒成立，只需证（x+1）ln（x+1）-x＞0成立，构造函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，利用导数判断f（x）在x＞0时单调递增，从而得到f（x）＞f（0）=0，即（x+1）ln（x+1）-x＞0成立，即原不等式得证．

解答： 解：∵x＞0，
∴要证ln（x+1）＞

x

x+1

，
只需证（x+1）ln（x+1）＞x，
即证（x+1）ln（x+1）-x＞0，
令f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，
则f′（x）=ln（x+1）+1-1=ln（x+1），
∵x＞0，
∴ln（x+1）＞ln1=0，
即f′（x）＞0，
∴f（x）在x＞0时单调递增，
∴f（x）＞f（0）=0
∴（x+1）ln（x+1）-x＞0成立，
∴不等式得证．

点评：本题考查不等式的性质，导数在研究函数单调性中的应用，属于中档题．