Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴是短轴的2倍，且过点E（

8

5

，

3

5

），又知一圆的方程为（x-1）²+y²=9
（1）求椭圆的方程；
（2）证明存在不垂直于x轴的直线l与已知圆交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，且满足|

AC

|=|

BD

|，并求|

AB

|的范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆方程为

x2

4b2

+

y2

b2

=1，即x²+4y²=4b²，代入点E（

8

5

，

3

5

），即可求椭圆的方程；
（2）设直线方程为y=kx+b，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合|

AC

|=|

BD

|，可得x_C+x_D=x_A+x_B，即可得出结论．

解答： （1）解：由题意，设椭圆方程为

x2

4b2

+

y2

b2

=1，即x²+4y²=4b²，
∵椭圆过点E（

8

5

，

3

5

），
∴

64

25

+4•

9

25

=4b²，
∴b²=1，
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）证明：设直线方程为y=kx+b，则
代入椭圆方程可得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，∴x_C+x_D=-

8kb

1+4k2

，
同理x_A+x_B=

2-2kb

1+k2

，
∵|

AC

|=|

BD

|，
∴x_C-x_A=x_B-x_D，
∴x_C+x_D=x_A+x_B，
∴

2-2kb

1+k2

=-

8kb

1+4k2

，
∴4k²+3kb+1=0，
故直线方程y=kx+b满足4k²+3kb+1=0时，存在不垂直于x轴的直线l与已知圆交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，且满足|

AC

|=|

BD

|，
由AB⊥x轴时，可知|

AB

|的范围为（0，1]．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线椭圆、圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度大．