Question

如图，已知棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯　形，AB∥CD，AB⊥BC，CD=PB=BC=1，
AB=2，且PB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）试在棱PB上求一点M，使CM∥平面PDA；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，求三棱锥P-ADM的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）取PB得中点M，则有CM∥平面PDA，证明如下：
取AB中点N，则MN∥PA，PA?平面PDA，MN?平面PDA，
∴MN∥平面PDA
连接CN，则AN∥CD且AN=CD=1，
∴四边形ANCD是平行四边形
∴CN∥AD，AD?平面PDA，CN?平面PDA，
∴CN∥平面PDA
又MN∩CN=N，∴平面MCN∥平面PDA，CM?平面MCN
∴CN∥平面PDA．
（Ⅱ）由（Ⅰ）：M为PB的中点，则V_P-ADM=V_B-ADM
在△ABD中，AB-2，AB边上的高h=BC=1，
∴
BM=，∴
所以三棱锥P-ADM的体积是．
分析：（Ⅰ）取PB得中点M，则有CM∥平面PDA，证明如下：取AB中点N，则MN∥PA，PA?平面PDA，MN?平面PDA，所以MN∥平面PDA．由题意得四边形ANCD是平行四边形，所以CN∥AD，AD?平面PDA，CN?平面PDA，所以CN∥平面PDA，所以平面MCN∥平面PDA，∴CN∥平面PDA．
（Ⅱ）由（Ⅰ）：M为PB的中点，则V_P-ADM=V_B-ADM，在△ABD中，AB-2，AB边上的高h=BC=1，∴
BM=，所以三棱锥P-ADM的体积是．
点评：解决探索性问题应该先利用代点检验的方法找到点，一般是线段的端点或线段的中点，求三棱锥的体积时当三棱锥的高与底面积不易求时，应该根据条件判断是否存在于已知三棱锥体积相等的三棱锥．