Question

【题目】已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣5|的最小值为m
（1）求m的值；
（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥12．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=|x+1|+|x﹣5|，

x≥5时，f（x）=x+1+x﹣5=2x﹣4，此时f（x）的最小值是6，

﹣1≤x≤5时，f（x）=x+1﹣x+5=6，

x≤﹣1时，f（x）=﹣x﹣1﹣x+5=﹣2x+4，此时f（x）的最小值是6，

故f（x）的最小值是6，故m=6；

（2）解：由（1）得a+b+c=6，

因为a，b，c 均为正实数，由柯西不等式得，

（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=36，当且仅当a=b=c=2时等号成立，

∴a2+b2+c2 的最小值为12

【解析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的最小值即m的值即可；（2）根据（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=36，可得 a2+b2+c2 的最小值为12．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．