Question

正三棱锥A-BCD底面边长为a，侧棱长为2a，E、F分别为AC，AD上的动点，求截面△BEF周长的最小值和这时E、F的位置．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：首先，展开三棱锥，然后，两点间的连接线BB'即是截面周长的最小值，然后，求解其距离即可．

解答： 解：把正三棱锥A-BCD的侧面展开，两点间的连接线BB'即是截面周长的最小值．
∵BB′∥CD，
∴△ADB′∽△B′FD，
∴DF/DB’=DB’/AD
其中AD=2a，DB’=a．
∴DF=

1

2

a
又△AEF∽△ACD，
∴EF/CD=AF/AD，其中CD=a，AD=2a，AF=2a-

1

2

a=

3

2

a，
∴EF=

3

4

a，
∴截面周长最小值是BB’=2a+

3

4

a=

11

4

a，E、F两点分别满足AE=AF=

3

2

a．

点评：本题重点考查了空间中的距离最值问题，属于中档题．注意等价转化思想的灵活运用．