【题目】北京时间3月10日,CBA半决赛开打,采用7局4胜制(若某对取胜四场,则终止本次比赛,并获得进入决赛资格),采用2﹣3﹣2的赛程,辽宁男篮将与新疆男篮争夺一个决赛名额,由于新疆队常规赛占优,决赛时拥有主场优势(新疆先两个主场,然后三个客场,再两个主场),以下是总决赛赛程:
日期 | 比赛队 | 主场 | 客场 | 比赛时间 | 比赛地点 |
17年3月10日 | 新疆﹣辽宁 | 新疆 | 辽宁 | 20:00 | 乌鲁木齐 |
17年3月12日 | 新疆﹣辽宁 | 新疆 | 辽宁 | 20:00 | 乌鲁木齐 |
17年3月15日 | 辽宁﹣新疆 | 辽宁 | 新疆 | 20:00 | 本溪 |
17年3月17日 | 辽宁﹣新疆 | 辽宁 | 新疆 | 20:00 | 本溪 |
17年3月19日 | 辽宁﹣新疆 | 辽宁 | 新疆 | 20:00 | 本溪 |
17年3月22日 | 新疆﹣辽宁 | 新疆 | 辽宁 | 20:00 | 乌鲁木齐 |
17年3月24日 | 新疆﹣辽宁 | 新疆 | 辽宁 | 20:00 | 乌鲁木齐 |
(1)若考虑主场优势,每个队主场获胜的概率均为 ,客场取胜的概率均为
,求辽宁队以比分4:1获胜的概率;
(2)根据以往资料统计,每场比赛组织者可获得门票收入50万元(与主客场无关),若不考虑主客场因素,每个队每场比赛获胜的概率均为 ,设本次半决赛中(只考虑这两支队)组织者所获得的门票收入为X,求X的分布列及数学期望.
【答案】
(1)解:设“辽宁队以比分4:1获胜”为事件A,“第i场比赛取胜”记作事件Ai,由赛程表可知:
P(A1)=P(A2)= ,P(A3)=P(A4)=P(A5)=
.
则P(A)=P( A2A3A4A5)+P(
A3A4A5)+P(A1A2
A4A5)+P(A1A2A3
A5)=
+
+
+
=
(2)解:X的所有可能取值为200,250,300,350
设“辽宁队以4:0取胜”为事件A4,“四川队以4:0取胜”为事件B4;
“辽宁队以4:1取胜”为事件A5,“四川队以4:1取胜”为事件B5;
“辽宁队以4:2取胜”为事件A6,“四川队以4:2取胜”为事件B6;
“辽宁队以4:3取胜”为事件A7,“四川队以4:3取胜”为事件B7;
则P(X=4)=P(A4)+P(B4)= =
.P(X=5)=P(A5)+P(B5)=
=
.
P(X=6)=P(A6)+P(B6)= =
.
P(X=7)=P(A7)+P(B7)= ×
×
=
.
∴X的分布列为:
X | 200 | 250 | 300 | 350 |
P |
E(X)=200× +250×
+300×
+350×
=290.625
【解析】(1)设“辽宁队以比分4:1获胜”为事件A,“第i场比赛取胜”记作事件Ai,由赛程表可知: P(A1)=P(A2)= ,P(A3)=P(A4)=P(A5)=
.利用P(A)=P(
A2A3A4A5)+P(
A3A4A5)+P(A1A2
A4A5)+P(A1A2A3
A5)即可得出.(2)X的所有可能取值为200,250,300,350.设“辽宁队以4:0取胜”为事件A4 , “四川队以4:0取胜”为事件B4;“辽宁队以4:1取胜”为事件A5 , “四川队以4:1取胜”为事件B5;“辽宁队以4:2取胜”为事件A6 , “四队以4:2取胜”为事件B6;“辽宁队以4:3取胜”为事件A7 , “四川队以4:3取胜”为事件B7;可得P(X=i)=P(Ai)+P(Bi)即可得出.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用离散型随机变量及其分布列的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(小时)的函数,其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:
t | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y | 12 | 15.1 | 12.1 | 9.1 | 12 | 14.9 | 11.9 | 9 | 12.1 |
经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数的图象.⑴求
的解析式;⑵设水深不小于
米时,轮船才能进出港口。某轮船在一昼夜内要进港口靠岸办事,然后再出港。问该轮船最多能在港口停靠多长时间?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=alnx+ ,a∈R.
(1)若f(x)的最小值为0,求实数a的值;
(2)证明:当a=2时,不等式f(x)≥ ﹣e1﹣x恒成立.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关.甲能攻克的概率为 ,乙能攻克的概率为
,丙能攻克的概率为
.
(1)求这一技术难题被攻克的概率;
(2)若该技术难题末被攻克,上级不做任何奖励;若该技术难题被攻克,上级会奖励a万元.奖励规则如下:若只有1人攻克,则此人获得全部奖金a万元;若只有2人攻克,则奖金奖给此二人,每人各得 万元;若三人均攻克,则奖金奖给此三人,每人各得
万元.设甲得到的奖金数为X,求X的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=lnx,g(x)=f(x)+ax2+bx,其中函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴.
(1)确定a与b的关系;
(2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.
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【题目】徐州市为加快新老城区的融合并进一步缓解交通压力,现经过食品城至新城区(昆仑大道)和食品城至高速入口(迎宾大道),分别修建地铁2号线和快速通道,如图,已知两条公路夹角为60°,为了便于施工拟在两条公路之间的区域内建一混凝土搅拌站P,并分别在两条公路边上建两个中转站M、N (异于点A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).
(1)
(2)问为多大时,使得混凝土搅拌站产生的噪声对食品城的影响最小(即搅拌站与食品城的距离最远).
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