已知点、,动点满足:,且
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)已知圆W: 的切线与轨迹相交于P,Q两点,求证:以PQ为直径的圆经过坐标原点.
(1);(2)证明详见解析.
【解析】
试题分析:(1)针对点的位置:点在线段上、点在轴上且在线段外、点不在轴上进行分类确定点的轨迹,前两种只须简单的检验即可,当点不在轴上时,在中,应用余弦定理得,化简得到,再根据圆锥曲线的定义,可知动点在以为两焦点的椭圆上,由椭圆的相关参数即可写出椭圆的方程,最后综合各种情况写出所求轨迹的方程;(2)先验证直线斜率不存在与斜率为0的情形,然后再证明直线斜率存在且不为0的情况,此时先设直线,设点,联立直线与轨迹的方程,消去得到,进而求出及,得到,利用直线与圆相切得到,代入式子中,即可得到,从而问题得证.
试题解析:(1)①当点在线段上时
不存在或,均不满足题目条件 1分
②当点在轴上且在线段外时,
,设
由可得∴∴ 3分
③当点不在轴上时,
在中,由余弦定理得
,即动点在以为两焦点的椭圆上
方程为:()
综和①②③可知:动点的轨迹的方程为: 6分
(2)①当直线的斜率不存在时
∵直线与圆相切,故切线方程为或
切线方程与联立方程组
可求得为或为
则以为直径的圆的方程为,经过坐标原点
②当直线的斜率为零时
与①类似,
可求得以为直径的圆的方程为,经过坐标原点 10分
③当直线的斜率存在且不为零时设直线的方程为
由消去得
设,则
∴
∴①
∵直线和圆相切
∴圆心到直线的距离,整理得②
将②式代入①式,得,显然以为直径的圆经过坐标原点
综上可知,以为直径的圆经过坐标原点 14分.
考点:1.轨迹的求法;2.椭圆的标准方程;3.直线与圆的位置关系;4.直线与圆锥曲线的综合问题.
科目:高中数学 来源:2015届江西赣州四所重点中学高二上学期期末联考文数学试卷(解析版) 题型:选择题
设A,B两点的坐标分别为(-1,0),(1,0),条件甲:·>0;条件乙:点C的坐标是方程的解,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2015届江西赣州六校高二上学期期末联考文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
如图所示方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是中的任何一个,允许重复,则填入方格的数字大于方格的数字的概率为( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2015届江西省宜春市高二上学期期末统考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
设:实数满足 ,其中,:实数满足.
(1)当,且为真时,求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2015届江西省宜春市高二上学期期末统考文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
若连续函数在上可导,其导函数为,且函数的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.有极大值和极小值 B.有极大值和极小值
C.有极大值和极小值 D.有极大值和极小值
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2015届江西新余市高二上学期期末理科A数学试卷(解析版) 题型:填空题
将一个大正方形平均分成9个小正方形,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中),投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,则P(A|B)=_____.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2015届江西南昌市四校高二上学期期末联考文科数学试卷(解析版) 题型:填空题
设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,则该曲线在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为________.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com