【题目】2022年,将在北京和张家口两个城市举办第24届冬奥会.某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性,举行了一次奥运知识竞赛.随机抽取了30名学生的成绩,绘成如图所示的茎叶图,若规定成绩在75分以上(包括75分)的学生定义为甲组,成绩在75分以下(不包括75分)定义为乙组.
(1)在这30名学生中,甲组学生中有男生7人,乙组学生中有女生12人,试问有没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关;
(2)①如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,那么至少有1人在甲组的概率是多少?
②用样本估计总体,把频率作为概率,若从该地区所有的中学(人数很多)中随机选取3人,用表示所选3人中甲组的人数,试写出的分布列,并求出的数学期望.
附: ;其中
独立性检验临界表:
0.100 | 0.050 | 0.010 | |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
【答案】(1)没有90%的把握(2)①②
【解析】
(1)作出列联表,由列联表数据代入公式求出,从而得到没有的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关;(2)①用表示“至少有1人在甲组”,利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在甲组的概率;②由题意知,,由此能求出的分布列,利用二项分布的期望公式可得数学期望.
(1)作出列联表:
甲组 | 乙组 | 合计 | |
男生 | 7 | 6 | 13 |
女生 | 5 | 12 | 17 |
合计 | 12 | 18 | 30 |
由列联表数据代入公式得,
故没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关.
(2) ①用A表示“至少有1人在甲组”,则.
②由题知,抽取的30名学生中有12名学生是甲组学生,抽取1名学生是甲组学生的频率为,
那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是,
又因为所取总体数量较多,抽取3名学生可以看出3次独立重复实验,
的取值为0,1,2,3. 且
于是服从二项分布,即,
所以的数学期望为 .
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【题目】某玩具所需成本费用为P元,且P=1 000+5x+x2,而每套售出的价格为Q元,其中Q(x)=a+ (a,b∈R),
(1)问:玩具厂生产多少套时,使得每套所需成本费用最少?
(2)若生产出的玩具能全部售出,且当产量为150套时利润最大,此时每套价格为30元,求a,b的值.(利润=销售收入-成本).
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【题目】下列说法:
①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适;②用相关指数可以刻画回归的效果,值越小说明模型的拟合效果越好;③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和大小,残差平方和越小的模型拟合效果越好.其中说法正确的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
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【题目】已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为 为参数).
(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C经过伸缩变换 得到曲线C′,设曲线C′上任一点为M(x,y),求 的最小值.
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【题目】下列说法错误的是( )
A.设p:f(x)=x3+2x2+mx+1是R上的单调增函数, ,则p是q的必要不充分条件
B.若命题 ,则¬p:?x∈R,x2﹣x+1>0
C.奇函数f(x)定义域为R,且f(x﹣1)=﹣f(x),那么f(8)=0
D.命题“若x2+y2=0,则x=y=0”的逆否命题为“若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2≠0”
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【题目】某商场为了了解顾客的购物信息,随机在商场收集了位顾客购物的相关数据如下表:
一次购物款(单位:元) | |||||
顾客人数 |
统计结果显示位顾客中购物款不低于元的顾客占,该商场每日大约有名顾客,为了增加商场销售额度,对一次购物不低于元的顾客发放纪念品.
(Ⅰ)试确定, 的值,并估计每日应准备纪念品的数量;
(Ⅱ)现有人前去该商场购物,求获得纪念品的数量的分布列与数学期望.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知过点的直线的参数方程是(为参数).以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程式为.
(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线交于两点,且,求实数的值.
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【题目】为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为 (),传输信息为,其中,运算规则为:,,,,例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( )
A. 11010 B. 01100 C. 10111 D. 00011
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