Question

如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD将△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得几何体B-ACD
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求点D到面ABC的距离．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵BD⊥AD，BD⊥CD，AD∩CD=D，∴BD⊥平面ACD，
又∵AC?平面ACD，∴AC⊥BD
在△ACD中，∠ADC=

π

6

，AD=2，CD=

3

，
∴AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos∠ADC=1
∴AD²=CD²+AC²，∴AC⊥CD，
又BD∩CD=D，∴AC⊥平面BCD．
（Ⅱ）过D点作DE⊥BC，垂足为E点
由（Ⅰ）知：AC⊥平面BCD
∵AC?面ABC
∴面ABC⊥面BCD…（8分）
又∵面ABC∩面BCD=BC
∴DE⊥面ABC
∴DE即为点D到面ABC的距离…（10分）
∵在Rt△BCD中，BC•DE=BD•CD
∴2DE=1×

3

∴DE=

3

2

∴点D到面ABC的距离为

3

2

…（12分）