Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n（n∈N^*），a₁=1且S_n•S_n-1+

1

2

an=0
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：对任意的n∈N^*，不等式

1

1-S2

•

1

1-S3

•…

1

1-Sn+1

＞

n+1

成立．

Answer 1

分析：（1）将Sn•Sn-1+

1

2

an=0转化为 2S_n•S_n-1=S_n-1-S_n两边同除以S_n•S_n-1得2=

1

Sn

-

1

Sn-1

构造数列{

1

Sn

}是以1为首项，以2为公差的等差数列，求其通项公式，再据Sn与an的关系求数列{a_n}的通项公式
（2）

1

1-Sk+1

= 

2k+1

2k

，不等式左端无法进一步整理化简，又是与自然数有关，考虑用数学归纳法证明．

解答：解：（1）∵a₁=1且Sn•Sn-1+

1

2

an=0
即Sn•Sn-1+

1

2

(Sn-Sn-1) =0（n≥2）
  2S_n•S_n-1=S_n-1-S_n两边同除以S_n•S_n-1得
2=

1

Sn

-

1

Sn-1

∴数列{

1

Sn

}是以1为首项，以2为公差的等差数列．
∴

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1
∴S_n=

1

2n-1

，
当n=1时，a₁=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2n-1

-

1

2(n-1)-1

=

-2

(2n-1)(2n-3)

∴a_n=

-2 (2n-1)(2n-3) 1                   (n=1)

(n≥2)
（2）

1

1-Sk+1

= 

2k+1

2k

用数学归纳法证明：
当n=1时，

1

1-S2

=

1

1- 1 3

=

3

2

=

9 4

＞

2

，不等式成立． ①
假设当n=k（k≥2）时成立，即有

1

1-S2

•

1

1-S3

•…

1

1-Sk+1

＞

k+1

成立
那么当n=k+1时不等式

1

1-S2

•

1

1-S3

•…

1

1-Sk+1

+

1

1-S(k+1)+1

＞

k+1

•

2(k+1)+1

2(k+1)

=

k+1

•

2k+3

2k+2

下证

k+1

•

2k+3

2k+2

＞

k+2

成立．
只需证

2k+3

2k+2

＞

k+1

k+2

两边平方即为   

4k2 +12k+9

4k2+4k+1

＞ 

k+2

k+1

，两边减去1得

8k+8

4k2+4k+1

＞

1

k+1

即证8（k+1）²＞4k²+4k+1，
即4k²+12k+7＞0，显然成立②
 由①②可知，原不等式对任意正整数n都成立．

点评：本题考查通项公式求解、不等式的证明，用到的知识和方法有，Sn与an的关系，数学归纳法，考查分析解决问题、转化、计算等能力．