Question

4．已知f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）（a≠1，a＞0），求f（x）在（-∞，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 求导f′（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$lna（a^x+a^-x），从而判断导数的正负，从而确定函数的单调性．

解答 解：∵f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），
∴f′（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$lna（a^x+a^-x），
当0＜a＜1时，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$lna＞0，a^x+a^-x＞0，
故f′（x）＞0；
当a＞1时，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$lna＞0，a^x+a^-x＞0，
故f′（x）＞0；
故f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用．