Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{1}{2}$．设过点F₂的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|=3
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，直线TS与TR的斜率之和为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：a=2c，$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3，且a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）分类讨论，当直线l不垂直与x轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k_TR+k_TS=0，即可证明直线TS与TR的斜率之和为定值．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，将x=c代入椭圆方程，
解得：y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，|RS|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3，
由a²=b²+c²，则a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）证明：当直线l垂直与x轴时，显然直线TS与TR的斜率之和为0，
当直线l不垂直与x轴时，设直线l的方程为y=k（x-1），R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²x+4k²-12=0，
△=64k⁴-4（3+4k²）（4k²-12）=k²+1＞0恒成立，
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由k_TR+k_TS=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$，TR，TS的斜率存在，
由R，S两点的直线y=k（x-1），
故y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
则$\frac{k（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-4）+k（{x}_{2}-1）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$=$\frac{k[2{x}_{1}{x}_{2}-5（{x}_{1}+{x}_{2}）+8]}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$，
由2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8=2×$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-5×$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+8=0，
∴k_TR+k_TS=0，
∴直线TS与TR的斜率之和为0，
综上所述，直线TS与TR的斜率之和为为定值，定值为0．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．