Question

6．已知函数f（x）=$\frac{x}{{{e^{x．}}}}$-mx（m∈R）．
（Ⅰ）当m=0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当b＞a＞0时，总有$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＞1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）由函数h（x）=f（x）-x在区间（0，+∞）递增，问题转化为m≤$\frac{1-x}{{e}^{x}}$-1在区间（0，+∞）恒成立，设k（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$-1，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）m=0即f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，令f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
x，f′（x），f（x）的变化如下：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	递增		递减

∴函数f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增；
（Ⅱ）∵b＞a＞0时，总有$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＞1成立，
即函数h（x）=f（x）-x在区间（0，+∞）递增，
由h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-（m+1）x，（x＞0）得h′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$-（m+1）≥0在（0，+∞）恒成立，
即m≤$\frac{1-x}{{e}^{x}}$-1在区间（0，+∞）恒成立，
设k（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$-1，则k′（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$，令k′（x）=0，则x=2，
故x∈（0，2）时，k′（x）＜0，函数k（x）在（0，2）递减，
x∈（2，+∞）时，k′（x）＞0，函数k（x）在（2，+∞）递增，
故k（x）_min=k（2）=-1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故m的范围是m≤-1-$\frac{1}{{e}^{2}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．